Практическое применение школьных знаний.

         Практическое применение школьных знаний по математике в  проектах. Математическое моделирование в школе.       Большинство учащихся в старшей школе воспринимают получаемые знания как абсолютно абстрактные. Зачастую учащиеся на совершенно обоснованный вопрос : “Зачем все это нужно?” . В ответ они слышат, что это нужно для сдачи ЕГЭ и ОГЭ. Обучение математики и прочим точным наукам превращается в формализм, “натаскивание” на решение  типовых задач. Чтобы заинтересовать учащихся в углубленном изучении точных наук,  необходимо раскрыть перед ними практическую значимость получаемых знаний. Учащиеся должны иметь возможность творчески применять получаемые знания для реализации интересных, а главное - практически значимых  проектов.  Для этого необходимо разработать методические рекомендации по основным темам  школьной математики, информатики и физики. Данные рекомендации должны включать в себя примеры практического применения знаний по соответствующим темам. Они должны  содержать творческие задания, на основе которых учащиеся смогут самостоятельно  реализовать мини проекты или мини курсовые. Этими рекомендациями могут воспользоваться педагоги для организации занятий, спецкурсов по своим предметам.  Внедрение данных педагогических технологий целесообразно осуществить в рамках  программы “ТЕМП”.

В данной статье    будет приведен пример практического применения    школьной математики  в области экономики. Кроме непосредственного предметного содержания  будет построен шаблон занятий с практическим применением школьных знаний.

Структура методических рекомендаций может выглядеть следующим образом:

1.       Определение темы занятия.

2.       Теоретическая вводная часть.

3.       Ключевые (опорные) примеры применения школьных знаний по теме. Выкладки в общем виде. Конкретный числовой пример.

4.       Компьютерная реализация в среде Excel или Matlab или подобных им средах. Визуализация примеров.

5.       Задания. Различные вариации на тему ключевых примеров.

6.       Ссылки на теоретические материалы из учебников , для подготовки к проекту.

7.       Перечень тем из школьного курса, соответствующих теме.

8.       Приложения. Теория по теме курсовой.  Реальные примеры применения теории.

Ссылки на материалы для более глубокого изучения темы.

Ниже будет приведен конкретный пример методических рекомендаций,  построенных согласно  данной структуре.

Определение темы занятия

Практическое применение школьной математики в экономике  целесообразно начать с вводного занятия по  математическому  моделированию. Данные знания являются универсальными и могут быть использованы в различных предметных областях.

Теоретическая вводная часть

Что такое математическая  модель?  Математическая модель – это набор  математических функций, неравенств, уравнений, параметров, методов,  в  который включаются основные свойства исследуемого объекта.

Математическая модель системы состоит:

1)      Из набора искомых параметров системы. Например, нам нужно найти,  сколько производить каждого товара, так чтобы  суммарная прибыль компании была максимальной.

2)      Набора внешних параметров, условий, которые не зависят от нашей системы.  Например, это цены на материалы, наличие материалов у поставщиков

3)      Набора  внутренних параметров системы. Например, себестоимость продукции или нормы затрат материалов на каждую единицу продукции.

Математически модель  преобразует внешние параметры в  искомые параметры. Т.е. если поменялись внешние условия, например, изменились цены на материалы, или их  наличие на складе,  то модель должна нам рассчитать  новое оптимальное соотношение,  каких товаров и в каком количестве производить, чтобы прибыль была максимальной. Для решения любой экономической задачи мы должны пройти последовательно следующие этапы:

Определение экономической задачи .

На данном этапе мы должны понять, что хотим получить от модели, на какой вопрос ответить. Например, хотим ли  мы максимизировать  суммарную прибыль компании или же  минимизировать ее издержки.

Формирование  математической модели.

Здесь мы должны  определить список внешних и внутренних параметров системы.

Связать эти параметры с помощью уравнений, неравенств, формул.

При этом важно учитывать, что  модель должна отражать только ключевые , основные характеристик системы. Чрезмерная детализация модели может существенно усложнить решение задачи.

Математический анализ модели.

На данном этапе мы должны определить тип модели, и соответственно подобрать математический аппарат ля решения поставленной задачи. Самым легким вариантов является тот когда можно выразить  искомые параметры с помощью формул через внешние и внутренние параметры. Такие модели называются аналитическими.  Однако чаще всего в модели нельзя явно выразить искомые параметры  с помощью формул. В этом случае используются различные алгоритмы поиска решения: численные методы, и даже  методы  искусственного интеллекта.

Подготовка исходной информации.

Даже если математическая модель составлена правильно, она не сможет решить корректно задачу, если  мы будем подставлять в нее неточные данные.

При подготовке входной информации важно сконцентрироваться на ключевых параметрах, которые нам необходимо определить максимально точно. При этом сбор информации не должен быть очень затратным, иначе пропадает целесообразность использования модели.

Например, была создана модель, которая оптимально определяла  структуру перевозки зерна с полей на элеваторы. Главная информация для этой модели – это расстояния от каждого поля до элеватора. Чтобы получить эту информацию, специально были осуществлены рейсы автомобилей от полей до элеваторов. Расстояние  замерялось по показаниям спидометров. Конечно это затратный способ, но результат применения модели его многократно окупал.

Ошибка на несколько километров могла привести  к существенному отклонению  в  решении задачи. Т.е. главное  - это подставить в математическую модель достоверные, проверенные данные. Потому что использование самой точной модели с неправильными  входными данными приведет к неправильному решению.

  Численное решение.

Многие  экономические модели включают в себя большое количество параметров, поэтому возникает необходимость  хранения и обработки больших массивов данных.

Для  определенных моделей должны быть реализованы программные комплексы, которые  используют алгоритмы численного решения, линейного или нелинейного программирования и  другие. Важно  чтобы данные программные комплексы могли наглядно отражать  решение модели.

В таблицах Excel существуют встроенные функции и программы, позволяющие решать численно многие экономические задачи.  Например,  функции позволяющие строить множественную регрессию или встроенный модуль   “Поиск Решения”, который позволяет решать задачи  линейного и нелинейного программирования.

Анализ численных результатов и их применение.

На данном этапе  мы должны проверить полученные данные на практике. Насколько они применимы к реальности. Может так получиться, что модель выдала вообще отрицательные данные для сугубо положительных переменных (количество товара). В этом случае неправильно была составлена  модель,  и  в ней не наложили ограничение на положительность искомых переменных.

На этом этапе мы должны провести исследование на адекватность работы модели. Желательно иметь примеры  оптимальных решений. И на этих примерах проверять корректность работы нашей модели.

Опорный пример

После знакомства с  основными этапами математического моделирования в экономике перейдем к практическому классическому примеру. Математическое моделирование поведения монополиста.

Напомним, что монополист может определять цену на свою продукцию на рынке.  Объем продаж продукции в зависимости от цены Q(p)  определяется функцией спроса.  В простейшем случае - линейная убывающая функция.  Действительно, чем больше цена, тем меньше  объем продаж.

1.       Постановка задачи:

Найти  цену на продукцию, при которой прибыль монополиста была бы максимальной.

2.       Построение математичкой модели.

Введем следующие переменные:

Q – объем продаж.

P – цена продукции.

c – себестоимость единицы продукции.

Profit – прибыль компании.

Как мы отметили выше  Q(p) функция  спроса. В нашей модели мы представим ее как убывающую линейную функцию.  Q(p)=A-Bp

A и B  -некоторые числа.

Тогда  выручка от продажи задается формулой:  Q(p)p= (A-Bp)p

Себестоимость  задается формулой:  Q(p)с=(A-Bp)с

Прибыль = Выручка – Себестоимость.

Profit= Q(p)p- Q(p)с =(A-Bp)p-(A-Bp)с=Ap-Bp2-Ac+Bpc=- Bp^2+(A+Bc)p-Ac

3.       Математический анализ модели

Итак, нам нужно определить цену p0 , при которой наша прибыль станет максимальной. Найдем  локальный максимум   функции Profit . Для этого найдем производную Profit  по переменной p  и приравняем ее к нулю.

Profit’(p)=0

-2Bp0+(A+Bc)=0

Откуда определим оптимальную цену :

p0=(A+Bc)/2B

4.       Подготовка исходной информации.

Классическим примером монополиста может являться крупный региональный  агрохолдинг, который например, производит сахар и реализует сахар.

Для определения оптимальной цены  необходимо провести маркетинговые исследования и построить функцию спроса. Для этого компания может  изменять цену в некотором диапазоне и отслеживать спрос. Таким образом,  мы получим функцию эластичности.  Для двух значений цены определим два значения спроса.

Пусть для цены p1 уровень спроса Q1

Для цены p2 уровень спроса Q2

Тогда для определения параметров функции спроса имеем систему:

Q1=A-Bp1,

Q2=A-Bp2

Из данной системы и можно определить параметры функции спроса A и B.

В данном примере мы совместим структурные разделы Компьютерная реализация и задания.

1.      Компьютерная реализация  и задания

Уже такой простой пример позволит предложить учащимся большое количество творческих заданий и мини-проектов. Приведем несколько примеров творческих заданий учебных мини-проектов отсортированные по уровню возрастания сложности:

1. В среде Excel   построить график функции спроса для параметров A= 1000, B=2, с=2. Построить функции выручки, себестоимости, прибыли.

2. Определить графически  и аналитически оптимальную цену для которой прибыль максимальна. Сравнить эти значения.

3.Составить математическую модель и определить оптимальную цену для функций спроса вида Q=A+ ; Q=A-B . Построить для  заданных параметров A и B , c в среде Excel графики функций выручки, себестоимости, прибыли.

4.Создать в среде Excel или написать программы на Cи++ или Pascal  компьютерные тренажеры по пройденной теме.

                                                                                                                          Автор:      Пашнин Андрей Александрович

Другие статьи по методике преподавания робототехники и программирования

Поделиться: